等秩矩阵为什么等价

等秩矩阵等价的原因在于初等变换不改变矩阵的秩。具体来说：

初等变换：

矩阵的初等变换包括三种操作：交换两行（列）、某行（列）乘以非零常数、某行（列）加上另一行（列）的常数倍。这些操作都不会改变矩阵的秩。

等价关系：

如果矩阵A可以通过一系列初等变换变成矩阵B，则称A与B是等价的。由于初等变换不改变秩，因此等价的矩阵具有相同的秩。

行空间和列空间：

等价矩阵具有相同的行空间和列空间，这意味着它们具有相同的线性无关行或列的个数，因此它们的秩相等。

传递性：

等价关系具有传递性，即如果矩阵A等价于B，B等价于C，则A也等价于C。这一性质进一步支持了等秩矩阵等价的观点。

总结来说，等秩矩阵等价是因为它们可以通过初等变换相互转化，并且这些变换不改变矩阵的秩。这一性质是线性代数中非常重要的，因为它揭示了矩阵结构的一些基本不变量