偏导连续为什么可微

偏导数连续意味着函数在某一点的局部变化可以用线性函数来近似，即存在一个切平面能够准确地描述函数在该点附近的行为。具体来说：

连续性：

函数在某点连续意味着函数图像在该点没有“断裂”，函数值随着自变量的变化是平滑过渡的。

偏导数存在：

对于多元函数，偏导数存在说明函数沿坐标轴方向的变化率是存在的，但不足以描述函数在所有方向上的变化。

偏导数连续：

如果函数的偏导数不仅存在，而且连续，则表明函数在各个方向上的变化率都是平滑的，函数在该点的局部行为可以用一个线性函数（即切平面）来近似。

可微性：

函数在某点可微意味着在该点附近，函数值的变化可以用一个线性函数来近似，这个线性函数就是该点的切平面。

总结来说，偏导数连续是函数在该点可微的充分条件，因为它保证了函数在该点的局部可以用线性函数来近似，从而保证了可微性。然而，它不是必要条件，因为即使偏导数在某点不连续，函数仍然可能是可微的。