为什么特征向量垂直公式

特征向量垂直的公式基于向量的点积性质。在数学中，两个向量垂直的充要条件是它们的点积等于0。对于特征向量来说，这个性质同样适用。

特征向量通常与线性变换或矩阵相关，它们是在某个线性变换下保持方向不变的向量。如果一个向量是矩阵A的特征向量，对应于特征值λ，那么它满足以下等式：

A * v = λ * v

其中v是特征向量，A是变换矩阵，λ是对应的特征值。

如果两个特征向量v1和v2分别对应于不同的特征值λ1和λ2，并且这两个特征值不同（即λ1 ≠ λ2），那么v1和v2一定是垂直的。这是因为如果它们不是垂直的，那么它们将形成一个非零的夹角θ，根据点积的性质，我们有：

v1 · v2 = |v1| * |v2| * cos（θ）

由于v1和v2不是垂直的，θ不等于0或90度，cos（θ）也不等于0。但是，如果v1和v2对应于不同的特征值，那么上面的等式左边将是0（因为特征向量在特征子空间内是线性独立的），而右边由于cos（θ）不为0，所以等式不成立。这产生了一个矛盾，因此假设不成立，v1和v2必须是垂直的。

总结一下，特征向量垂直的公式基于以下逻辑：

1. 如果两个特征向量对应于不同的特征值，则它们是线性独立的。

2. 线性独立的特征向量在特征子空间内是垂直的。

这个结论是线性代数中的一个重要结果，它揭示了特征向量在描述线性变换的几何性质方面的作用