泰勒展开式为什么取0

泰勒展开式通常选择$x=0$作为展开点，主要有以下几个原因：

简化计算：

在$x=0$处，函数的任意阶导数可以通过对原函数进行重复求导来计算，这简化了求导过程。

方便记忆：

将泰勒公式简化为麦克劳林公式后，形式更简洁，便于记忆和应用。

美观：

选择$x=0$作为展开点，得到的展开式是形状最简的多项式，有助于分析和计算。

通用性：

虽然麦克劳林公式是泰勒公式在$x=0$处的特例，但泰勒公式本身可以用于在展开点$x_0$的任意邻域内进行函数展开，不局限于$x_0=0$。

需要注意的是，泰勒展开式在$x_0=0$处展开，并不意味着它只能用于计算$x$趋近于0的函数近似值。实际上，泰勒公式提供了一种方法，可以将一个函数在某一点附近用多项式来逼近，而这个多项式可以是任意阶的。