极限什么情况下能等价

在求极限时，等价无穷小代换是一种常用的简化技巧，它允许在特定条件下将无穷小量替换为它们等价的无穷小量，从而简化极限的计算。根据极限运算的性质，等价无穷小代换通常在以下情况下使用：

乘积因子为无穷小：

当极限表达式中的乘积因子趋近于0时，可以将这些因子替换为它们等价的无穷小量。例如，如果`lim_{x→0} f（x） = 0`且`lim_{x→0} g（x） = 0`，并且存在某个函数`h（x）`，使得`f（x） ≈ h（x）`当`x→0`，那么在求`lim_{x→0} f（x）g（x）`时，可以将`f（x）`替换为`h（x）`。

除法因子为无穷小：

在求极限时，如果分母趋近于0而分子不趋近于0，可以将分子和分母同时除以分母的等价无穷小量，从而简化极限的计算。

然而，需要注意的是，等价无穷小代换并不适用于所有情况，特别是加减法。例如，在求`lim_{x→0} （sinx - tanx） / x^3`的极限时，不能简单地将`sinx`和`tanx`替换为它们在`x→0`时的等价无穷小量`x`和`x^3`，因为这样会丢失重要的高阶无穷小项，导致结果错误。

总结来说，等价无穷小代换在乘积因子为无穷小的情况下是有效的，而在加减法中需要更加谨慎，并考虑到高阶无穷小项的影响。在使用等价无穷小代换时，应确保理解其适用条件和限制