考研数学线性代数重难点解析 考研备考

考研数学中数一、数二、数三在高数中的要求会有一些区别,但这点在线性代数这门课程中几乎是没有的,如果非得严格的说,只有在空间解析几何上面的差距。因此,对于线性代数而言在考试中的重点和难点是没有太大区别的,下面我们具体来看一下线代中的几个重难点。

线性代数的**重难点是线性方程组。齐次线性方程组与线性相关、无关的联系。齐次线性方程组必定有解,其中零解必定是它的解,向量部分的一条性质:零向量可由任何向量线性表示。因此,我们更关注的齐次线性方程组什么时候有非零解,而当齐次线性方程组有非零解时，即存在不全为零的一组数使得向量组的线性组合为零向量。向量部分中判断向量组是否线性相关(无关)的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系:齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关(无关)的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。

其次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系。同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是极大线性无关组中的向量个数。由秩,线性相关(无关)、线性方程组解的判定的逻辑链条,就可以判定列向量组线性相关时,齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组的解向量可以通过线性无关的解向量(基础解系)线性表示。

非齐次线性方程组与线性表示的联系。非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示,使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。线性方程组的重点内容有次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)。主要题型有:线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。

线性代数的第二个重点就是矩阵的相似性。这一点需要大家注意的是矩阵的相似对角化,考试过程中,矩阵的相似对角化常常与二次型相结合在一起。另一方面,任何一个二次型都对应实对称矩阵,而实对称矩阵又具有某些良好的性质,必可正交相似对角化,其过程就是相似对角化在为实对称矩阵时的应用。线性代数每年都会考察两道大题,而往往就是这两个知识点各考查一个。

近几年,从考试的方向来看,对二次型的考察倾向比较大,而且是解答题,这一块的考査方式有两种:一种是以计算题的形式进行考察,主要是结合前面的相似对角化以及可相似对角化判定条件可以求参数,求秩等;另一种考査方式则是正定性的判定,这里主要是通过正特征值的数、正惯性指数或者是正定性的定义。对于具体采用哪种方法,还需要考生在做题的过程中进总结,但这块的知识点综合性会高一点,需要考生有一个很扎实的基础。