有效估计怎么求

有效估计通常指的是在统计推断中，一个估计量是有效率的，意味着它的方差达到了由Cramér-Rao下界（CRLB）给出的最小可能方差。以下是求有效估计的一些方法：

最大似然估计（MLE）:

对数似然函数对参数求偏导，令导数等于0，解出参数值。

如果存在多个参数，则是对参数向量求偏导。

MLE是有效估计，当且仅当它达到CRLB的下限。

法1：

先找到参数函数`g（theta）`的无偏估计`T（X）`。

证明`T（X）`与任何零的无偏估计`U_0（X）`不相关，即`E[T（X）U_0（X）]=0`。

法2：

找充分完备统计量`S`。

找一个`S`的函数`T（S）`，同时满足`T（S）`是`g（theta）`的无偏估计。

`T（S）`即为所求的有效估计。

法3：

找充分完备统计量`S`。

如果找不到基于`S`构造的无偏估计，可以随意找一个`g（theta）`的无偏估计`T_0`。

`E[T_0|S]`即为所求的有效估计。

法4：

找`g（theta）`的无偏估计`T（X）`。

证明`T（X）`达到了CRLB给出的方差下界。

有效估计量存在的条件是CRLB等号成立的条件，即有效估计量一定是最大似然估计。

需要注意的是，在实际操作中，求最大似然估计可能需要对方差-协方差矩阵进行操作，并可能需要使用数值优化算法。