隔板模型怎么算

隔板模型是一种组合数学中的计数方法，用于解决将相同物品分配给不同对象的问题，其中每个对象至少得到一个物品。以下是隔板模型的计算方法：

公式

如果有 `n` 个相同的物品要分给 `m` 个不同的对象，且每个对象至少得到一个物品，那么分配方法的总数可以通过组合数公式计算：

C（n - 1, m - 1） = （n - 1）! / [（m - 1）! * （（n - m））!]

其中 `!` 表示阶乘，即一个正整数的阶乘是所有小于或等于该数的正整数的乘积。

应用条件

所有物品必须完全相同。

所有物品必须分完，不允许有剩余。

每个对象至少分到一个物品。

例题解析

例1：7个相同的糖果分给3个小朋友，每人至少分一块

`n = 7`（糖果数量）

`m = 3`（小朋友数量）

每个小朋友至少分一块，意味着我们先给每个小朋友一块，剩下 `7 - 3 = 4` 块糖果需要分配。

此时问题转化为：将4个相同的糖果分给3个小朋友，没有最少分配量的限制。

应用隔板模型公式：`C（4 + 3 - 1, 3 - 1） = C（6, 2）`

计算结果：`C（6, 2） = 6! / （2! * 4!） = （6 * 5） / （2 * 1） = 15`

所以有15种分配方法。

例2：

12支相同的笔分给4名老师，每人至少2支

`n = 12`（笔的数量）

`m = 4`（老师的数量）

每位老师至少分得2支，意味着我们先给每位老师两支，剩下 `12 - 4 * 2 = 4` 支笔需要分配。

此时问题转化为：将4支相同的笔分给4名老师，每位老师可以得到0支或多支。

应用隔板模型公式：`C（4 + 4 - 1, 4 - 1） = C（7, 3）`

计算结果：`C（7, 3） = 7! / （3! * 4!） = （7 * 6 * 5） / （3 * 2 * 1） = 35`

所以有35种分配方法。

总结

隔板模型通过在元素之间或两端插入隔板来划分元素，从而计算分配方法的总数。需要注意的是，插入隔板的位置有限制，必须确保每个对象至少得到一个元素，并且所有元素都被分配完毕