一道高考数学题

1.离心率是根号2/2,则可设椭圆方程为x^2+2y^2=a^2

设椭圆上的任意一点为(asinθ，(根号2a/2)cosθ) (参数方程)

则点N（3，0）到该点的距离d^2=(3-asinθ)^2+a^2cos^2θ/2

展开并将cos^2θ转化为1-sin^2θ

得到:d^2=(a^2/2)sin^2θ-6asinθ+a^2/2+9

是一个以sinθ为变量的抛物线,开口向上,对称轴为6/a.

因为a>0,所以6/a>0

又因为函数图像的定义域[-1,1],对称轴大于0

所以函数最大值总在sinθ=-1时取得.

即(dmax)^2=a^2/2+6a+a^2/2+9=a^2+6a+9=(5根号2)^2

解得a=5根号2-3 (其实就是N到左端点距离最大)

然后可得椭圆方程为x^2+2y^2=59-30根号2

2.因为Q是AB中点且A,B关于PQ对称.所以PQ是线段AB垂直平分线.假设存在k.

可以设AB为y=kx+b.

具体算起来很麻烦,我提供一下思路.

将AB方程与椭圆方程联立,得到关于x的一元二次方程(设为方程*).将Q点坐标用k,b表示.

再将PQ斜率k'用k,b表示,最后根据kk'=-1解得b的值(不是k!)用k表示 ...1式

当然1个方程2个未知数是解不出的,也不可能解出,因为题目要你求的是范围.

所以还需要一个不等式,即方程*的deta>0 ....2式

将1式代入2式,即可得k的范围

注:第一问我没有算,是根据你提供答案算的.如果你第一问算错了也没关系,参考我的过程即可.过程比答案重要.